Relação entre o volume do cubo e o volume da pirâmide.

Posted by Antero Neves on Janeiro 17, 2013
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Este post tem dois objectivos, o primeiro é fazer isto

em papel, e o segundo é compreender como se relacionam os volumes do cubo e da pirâmide quando:

  1. a base dos dois sólidos é igual.
  2. a altura dos dois sólidos é igual.

Não tenho como objectivo demonstrar como se encontraram as fórmulas do volume do cubo nem da pirâmide por isso apenas as vou apresentar aqui:

Volume do cubo

V_\textrm{cubo}= a^3

onde a indica comprimento da aresta do cubo.

Volume da pirâmide

V_\textrm{piramide}=\displaystyle\frac{A_b \times h}{3}

onde A_b denota área da base e h a altura da pirâmide.

A relação entre os dois volumes é dada dividindo um volume pelo outro, mas antes disso vou jogar um pouco com a expressão do volume da pirâmide tendo em conta aquelas duas coisas para que chamei a atenção logo no início.

A primeira coisa (bases iguais) permite-me concluir que a base da pirâmide é um quadrado cujo lado tem comprimento a então:

A_b=a\times a =a^2

Assim já podemos escrever:

V_\textrm{piramide}=\displaystyle\frac{a^2 \times h}{3}

Tendo agora em conta a segunda coisa (alturas iguais) também podemos substituir h por a porque o cubo tem altura a.

A fórmula para cálculo da pirâmide, tendo em conta estas condições, transforma-se então em:

V_\textrm{piramide}=\displaystyle\frac{a^2 \times a}{3}=\displaystyle\frac{a^3}{3}

Voltemos à divisão entre os dois volumes:

r=\displaystyle\frac{V_\textrm{cubo}}{V_\textrm{piramide}}=\displaystyle\frac{a^3}{\displaystyle\frac{a^3}{3}}=a^3\times \displaystyle\frac{3}{a^3}=3

Nota 1: a divisão por um número é igual à multiplicação pelo seu inverso.

O que se conclui é que o volume do cubo é 3 vezes o volume de uma pirâmide com a mesma base e a mesma altura.

Bem, até aqui, trabalhámos com álgebra.

Agora vamos demonstrar exactamente o mesmo resultado mas com geometria.

A ideia é mostrar que um cubo tem 3 vezes mais volume que uma pirâmide com a mesma base e a mesma altura.

A planificação abaixo é de uma pirâmide. Podem imprimir 3 cópias, cortar, colar, e construir 3 pirâmides iguais.

http://issuu.com/aneves/docs/pyramidtocube

Depois é pôr mãos à obra!!

DSC08708

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DSC08712

Et voilà!

Mostrámos que conseguimos partir o cubo em 3 pirâmides iguais com altura e base igual à do cubo!!! 🙂

Aliás, esta relação mantém-se entre qualquer prisma e a pirâmide correspondente e até mesmo para o cilindro e o cone, desde que se verifiquem as condições iniciais – mesma base e altura.

Cabe-vos agora construir os sólidos para o demonstrar!

Boas construções 🙂

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