Cubo Yoshimoto

Publicado por Antero Neves em Janeiro 10, 2012
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A primeira vez que o vi, o Cubo Yoshimoto lembrou-me os tempos de universidade e as aulas de Lógica em que aprendi o Paradoxo de Banach-Tarski.

Cubo Yoshimoto

Para mim, o Paradoxo de Batach-Tarski deve ter sido a coisa que mais me espantou durante a licenciatura – foi isso e o fato de não podermos chamar rapaziada aos alunos (coisas de pedagogia) – e, de uma forma muito simplificada, o que se afirma é que podemos construir, com rotações e translações aplicadas a subconjuntos muito complicados de uma bola, duas bolas de volume igual ao da primeira – a bola original – ou seja, afirma-se que o milagre da multiplicação é matematicamente possível.

Cubos separados

Ora, com o Cubo de Yoshimoto é possível construir 2 cubos a partir de um e estes até têm arestas com o mesmo comprimento mas não é verdade que tenham o mesmo volume e por isso, embora me lembre o tal paradoxo… a verdade é que não estamos perante milagre algum.

Dodecaedros Rômbicos Estrelados

Ainda assim, é um objecto extremamente interessante, senão vejamos:

  1. Conseguimos dobrar e desdobrar um cubo prateado até termos um cubo dourado e continuando a dobrar voltamos ao cubo prateado;
  2. conseguimos formar dois dodecaedros rômbicos estrelados;
  3. conseguimos formar dois cubos.

O Cubo Yoshimoto no MoMA (Museum of Modern Art) onde o português Pedro Gadanho será curador durante pelo menos 3 anos (a partir do dia 11 de Janeiro de 2012) não sai barato mas em compensação é uma obra de arte que estamos a comprar! :D

Em baixo está uma fotografia do filme Tron: Legacy em que Jeff Bridges segura o Cubo Yoshimoto na forma dos dois dodecaedros rômbicos estrelados .

Tron:Legacy

O cubo que aqui aparece é apenas o primeiro de uma colecção de 3 Cubos de Yoshimoto que se tornam numa peça simplesmente fantástica, como podem ver no vídeo abaixo!

Silly Bandz e Matemática

Publicado por Antero Neves em Junho 14, 2011
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A moda das Silly Bandz é relativamente recente mas podemos encontrá-las nos pulsos de muitos jovens adolescentes. Hoje, quase me zanguei com uma aluna porque teimava em mexer/mostrar dezenas dessas pulseiras. Mas será que podia ter aproveitado para ensinar um pouco de Topologia? :)

Onde é que a Matemática entra nisto tudo?

Eu digo sempre aos meus alunos que a Matemática está em tudo…e estas pulseiras não são exce(p)ção!!!

A Topologia é um ramo da Matemática, de uma forma muito simples, é uma nova forma de geometria e quem quiser saber mais deve consultar o google ou algum livro mais específico, o engraçado da Topologia é que uma figura não muda de nome porque foi alterada por uma transformação contínua
(ou seja, uma transformação em que pontos que estão perto uns dos outros no início continuam próximos no fim) e essa transformação pode ser desfeita de igual forma.

Na geometria a que estamos habituados – a chamada Geometria Euclidiana – temos o círculo e o triângulo, e estes são considerados figuras diferentes. Na Topologia não!!! Com um círculo conseguimos obter um triângulo, um quadrado ou um pentágono através de transformações contínuas… e por isso todos eles são considerados círculos topológicos.

Pela mesma razão, as Silly Bandz são todas círculos topológicos!!! Podemos moldar um círculo para criar essas formas sem nunca partimos esse círculo! Agora é esperar que sempre que olharem para as suas Silly Bandz, os/as meus/minhas alunos/alunas se lembrem que levam ali Matemática bem sofisticada :D .

Puzzle: Dodecaedro Rômbico Estrelado (Sólido de Escher)

Publicado por Antero Neves em Março 25, 2011
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Depois do puzzle: Pirâmide de 4 peças que se pode encontrar aqui. Apresento-vos um outro puzzle que também se pode fazer com papel e este, se me permitem, bem mais bonito!

A figura é um Dodecaedro Rômbico Estrelado… ou Sólido de Escher.

O puzzle tem 6 peças

E para construir cada uma delas, deixo-vos a planificação aqui.

Claro, para a construção, para além das 6 cópias com a planificação, precisam de cola, tesoura ou outro objeto para cortar e paciência ;)

Depois é só montar o puzzle e decorar o vosso escritório, quarto ou o que quiserem :D

Dia do Pi

Publicado por Antero Neves em Março 14, 2011
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Hoje, dia 14 de Março, é o Dia do \pi :)

Para quem não se lembra, o \pi é aquele número que nós encontramos em tudo o que é redondo… aquele que é aproximadamente 3,14.

A explicação para a escolha deste dia é simples: Março,14. Sendo Março o terceiro mês do ano, ficamos com o célebre 3,14.

Mas é preciso que se diga que \pi é um número irracional. O que é isso? É um número que não resulta da divisão de dois números inteiros.

Mas ainda mais espectacular do que ser irracional é o facto de ser um número transcendente… e isto já significa que não é solução de uma equação polinomial de coeficientes racionais, quer dizer, não é solução de uma equação do tipo a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+ a_1 x + a_0=0. onde a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1,a_0 são número racionais (daqueles que se podem exprimir como divisão de dois números inteiros).

Para mim, a expressão (apresentada por Euler) mais bonita em que podemos encontrar \pi é: 1+e^{i\pi}=0 – a Identidade de Euler. É possível que muitos que visitem este blog ainda não saibam o que significa isto, mas fiquem desde já a saber que é tão impressionante que até já lhe chamaram a Fórmula de Deus.

Muitas são as fórmulas interessantes em que podemos encontrar o nosso \pi. Deixo aqui uma outra, também descoberta por esse Grande matemático… o Matemático dos Matemáticos: Leonhard Euler.

\pi=\sqrt{6\times \left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots\right)}

Um outro matemático que apresentou muitas fórmulas envolvendo \pi foi Ramanujan, cuja história de vida é um verdadeiro romance e de quem podemos ouvir falar um pouco no filme Good Will Hunting.

Já que estamos numa de filmes, deixo aqui o trailer do filme \pi:

.

e para acabar em grande, uma música honrando \pi :D :

Resta-me desejar um bom dia do \pi!

Puzzle: Pirâmide de 4 peças

Publicado por Antero Neves em Março 11, 2011
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Quem os vê sente-se imediatamente atraído por eles e quer ver se consegue resolvê-los, falo daqueles puzzles de madeira que se podem encontrar em tabacarias, papelarias ou então em lojas de brinquedos.

Um desses puzzles é o do tetraedro regular (que é uma pirâmide triangular regular e também um dos 5  sólidos platónicos e representante do fogo) dividido em 4 peças iguais.

Puzzle: tetraedro dividido em 4 peças

Em tempos de crise, em vez de gastarmos 10€ no puzzle, podemos construí-lo em casa…

Recorrendo ao Sketchup construí a peça base do puzzle, que consiste em 4 peças iguais. O vídeo abaixo mostra o resultado dessa construção.

Depois dessa construção, fiz a planificação do sólido para passar à construção do puzzle em papel. Podem encontrar essa planificação aqui.

E o resultado final é este:

É um bom puzzle para entreter os amigos ou só para enfeitar uma estante ;)

Para a construção necessitam de

  • 4 cópias do modelo;
  • cola
  • x-acto/tesoura/bisturi

Dudeney e os seus puzzles

Publicado por Antero Neves em Março 5, 2011
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Esta foi a construção que me chamou a atenção para as inúmeras dissecações que permitem transformar um polígono em outro.

Elaborei um ficheiro com o Sketchup onde mostro como funciona. Podem ver o resultado no vídeo abaixo.

Depois, criei um modelo a três dimensões que também disponibilizo aqui para em casa poderem fazer o vosso puzzle. Recomendo usar folhas um pouco mais pesadas, eu usei folhas de 160g/m^2 e claro… a bela fita-cola.

Modelo

O modelo deve ficar como este:

Esta é mais uma maravilha da Matemática.